线性代数：4、实对称矩阵的对角化问题.
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|A-λE|
2-λ -1 1
-1 2-λ -1
1 -1 2-λ
c1-c3
1-λ -1 1
0 2-λ -1
λ-1 -1 2-λ
r3+r1
1-λ -1 1
0 2-λ -1
0 -2 3-λ
= (1-λ)[(2-λ)(3-λ)-2]
= (1-λ)(λ^2-5λ+4)
= (1-λ)(λ-1)(λ-4)
所以 A 的特征值为 1,1,4.
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,0)^T,a2=(1,-1,-2)^T (正交)
(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-1,1)^T
将a1,a2,a3单位化构成P=
1/√2 1/√6 1/√3
1/√2 -1/√6 -1/√3
0 -2/√6 1/√3
则P为正交矩阵,且 P^-1AP=diag(1,1,4).
2-λ -1 1
-1 2-λ -1
1 -1 2-λ
c1-c3
1-λ -1 1
0 2-λ -1
λ-1 -1 2-λ
r3+r1
1-λ -1 1
0 2-λ -1
0 -2 3-λ
= (1-λ)[(2-λ)(3-λ)-2]
= (1-λ)(λ^2-5λ+4)
= (1-λ)(λ-1)(λ-4)
所以 A 的特征值为 1,1,4.
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,0)^T,a2=(1,-1,-2)^T (正交)
(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-1,1)^T
将a1,a2,a3单位化构成P=
1/√2 1/√6 1/√3
1/√2 -1/√6 -1/√3
0 -2/√6 1/√3
则P为正交矩阵,且 P^-1AP=diag(1,1,4).
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