Question

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半吗？

Answer 1

直角三角形斜边中线定理证明如下：

如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知三角形ABC，D为斜边BC上的中点。取AC的中点E，连接DE。∵AD是斜边BC的中线∴BD=CD=1/2BC∵E是AC的中点∴DE是△ABC的中位线∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC∴AD=CD=1/2BC。

直角三角形斜边中线定理的逆定理：

如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

证明方法：以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以该命题成立。