Question

AD为△ABC的角平分线，M为BC中点，ME‖AD交BA延长线于E,交AC于F，求证BE=CF=½（AB+AC）

答的好会有加分，谢谢

Answer 1

这道题要用一些公式、定理

如和比定理：若a/b=c/d，则 (a+b)/b=(c+d)/d

角平分线定理2：参考资料：http://baike.baidu.com/view/276158.html?wtp=tt

证：∵M是CB中点

∴CM=BM

∴CD=CM+MD=BM+MD，BD=BM-MD

∵AD平分∠CAB

∴AC：AB=CD：DB（角平分线定理2）

∴AC：AB=BM+MD：MB-MD

∴(AC+AB)：AB=[(BM+MD)+(BM-MD)]：BM-MD （和比定理）

∴(AC+AB)：AB==2BM：BD

∴½(AC+AB)：AB=BM：BD

∵AD‖EM

∴△ABD∽EBM

∴BE：AB=BM：BD

∴BE：AB=½(AC+AB)：AB

即 BE=½(AC+AB)

下面方法也一样

∵DB=BM-MD=CM-MD，CD=CM+MD

∵AD平分∠CAB

∴AB：AC=BD：CD（角平分线定理2）

∴AB：AC=CM-MD：CM+MD

∴(AB+AC)：AC=2CM：CM+MD （和比定理）

∴½（AB+AC）：AC=CM：CD

∵FM‖AD

∴△CFM∽△CAD

∴CF：CA=CM：CD

∴CF：AC=½（AB+AC）：AC

即 CF=½（AB+AC）

∴BE=CF=½(AC+AB)

【图在上传中，请稍等】