Question

一个计算题？

$\int_0^1\left(\sum_{x=1}^N e^{2 \pi i x^k \alpha}\right)^2\left(\sum_{x=1}^N\left(e^{-2 \pi i x^k \alpha}\right)\right) d \alpha=0$

Answer 1

这是一个关于指数函数的积分恒等式。下面给出证明的思路：
将指数函数用欧拉公式展开，得到
$$e^{2\pi i x^k\alpha} = \cos(2\pi x^k \alpha) + i\sin(2\pi x^k \alpha)$$
于是原式变为
$$\int_0^1 \left(\sum_{x=1}^N \cos(2\pi x^k \alpha) + i\sum_{x=1}^N \sin(2\pi x^k \alpha)\right)^2 \left(\sum_{x=1}^N \cos(2\pi x^k \alpha) - i\sum_{x=1}^N \sin(2\pi x^k \alpha)\right) d\alpha$$
将平方项展开并分别计算实部和虚部，得到
$$\int_0^1 \left[\left(\sum_{x=1}^N \cos^2(2\pi x^k \alpha) + \sin^2(2\pi x^k \alpha)\right) + 2i\left(\sum_{x=1}^N \cos(2\pi x^k \alpha)\sin(2\pi x^k \alpha)\right)\right]\left(\sum_{x=1}^N \cos(2\pi x^k \alpha) + i\sum_{x=1}^N \sin(2\pi x^k \alpha)\right)\left(\sum_{x=1}^N \cos(2\pi x^k \alpha) - i\sum_{x=1}^N \sin(2\pi x^k \alpha)\right) d\alpha$$
将实部和虚部分别计算，并注意到
$$\int_0^1 \cos(2\pi x^k \alpha)\sin(2\pi x^k \alpha) d\alpha = 0$$
因此虚部为0，最终得到
$$\int_0^1 \left(\sum_{x=1}^N \cos^2(2\pi x^k \alpha) + \sin^2(2\pi x^k \alpha)\right) \left(\sum_{x=1}^N \cos^2(2\pi x^k \alpha) + \sin^2(2\pi x^k \alpha)\right) d\alpha = 0$$
即
$$\int_0^1 \left(\sum_{x=1}^N \cos^2(2\pi x^k \alpha) + \sin^2(2\pi x^k \alpha)\right)^2 d\alpha = 0$$
因此原式为0。