幂函数收敛域半径怎么求？
用课本提供的方法，后一项的系数除以前一项的系数的绝对值的极限为1，则r=1/1=1.即收敛半径为1.然后讨论端点的收敛性，当x=1时，级数为交错调和级数，收敛，当x=-1时，为调和级数，发散。
收敛域为（-1,1】
和函数：s（x）=∞∑（n=1）(-1)^n/n*x^n，
对s（x）求导，
有s`（x）=∞∑（n=1）(-1)^n*x^(n-1),
右边为等比级数，公比为-x。则右边=-1/（1+x）。
对s`（x）积分（从0到x），得到s（x）=-ln（x+1）
∑x^n=x/(1-x),|x|<1,①
∑(n+1)x^n
=(d/dx)∑x^(n+1)
=(d/dx)x^2/(1-x)
=[2x(1-x)+x^2]/(1-x)^2
=(2x-x^2)/(1-x)^2,②
②-①，∑nx^n=(2x-x^2-x+x^2)/(1-x^2)=x/(1-x)^2
扩展资料：
正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
图像都经过点（1,1）（0,0）；函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；
负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
图像都通过点（1,1）；图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；
2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；
3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能幂函数的单调区间（当a为分数时）
说在定义域R内单调递减）；
4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；
2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增；
3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；
4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；
参考资料：百度百科-幂函数
