Question

为什么矩阵的秩小于n

Answer 1

秩小于n的n阶矩阵的行列式一定为零。

当m不等于n时，mxn矩阵没有行列式。

任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵。

上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0。

n阶上三角阵的秩 = n - 主对角线上0的个数。

初等行变换 = 左乘(可逆)初等矩阵。于是初等行变换保秩，并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0。

这样，A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n，也即A的秩小于n。

对于一个n阶的n*n矩阵A来说，

如果其行列式|A|=0，

则说明矩阵的秩小于n，即非满秩矩阵

而如果|A|≠0，无论是大于还是小于0，

都说明矩阵的秩就等于n

实际上行列式|A|=0，

就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行，

所以其秩R(A)<n< p="">

而行列式|A|≠0，即经过若干次初等变换之后不存在元素全部为0的行，

其秩R(A)=n