Question

设函数f(x)在闭区间【0,2a】上连续，且f(0)=f(2a),试证方程f(x)=f(x+a)在闭区间【0，a】上至少有一个实根

Answer 1

设F(x)=f(x+a)-f(x),则F（x）在[0 a]上连续
所以F(a)F(0)=[f(2a)-f(a)][f(a)-f(0)],又f(2a)=f(0)
所以F(a)F(0)=[f(0)-f(a)][f(a)-f(0)]=-[f(a)-f(a)]^2<=0
所以F（x）=0在[0 a]上最少有一个实数根 ，
所以方程f(x)=f(x+a)在闭区间【0，a】上至少有一个实根。

Answer 2

设F(x)=f(x+a)-f(x),则F（x）在[0
a]上连续
所以F(a)F(0)=[f(2a)-f(a)][f(a)-f(0)],又f(2a)=f(0)
所以F(a)F(0)=[f(0)-f(a)][f(a)-f(0)]=-[f(a)-f(a)]^2<=0
所以F（x）=0在[0
a]上最少有一个
实数根
，
所以方程f(x)=f(x+a)在
闭区间
【0，a】上至少有一个实根。

Answer 3

令
f(x)
=
f(a+x)-f(x)
则f(x)在[0,2a]上连续
f(a)
=
f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
f(0)
=
f(a)-f(0)
=-f(a)
由闭区间连续函数介值定理，必然存在一点ξ，使得f(x)的值为0
即是题目所要你证明的等式f(ξ)=f(ξ+a)

Answer 4

[f(0)-f(a)]*[f(a)-f(2a)]=-[f(a)-f(2a)]^2<0
连续至少有一个实根