Question

利用二重积分计算体积问题

这是书上一道例题：求旋转抛物面A：z=x²+y²及B：z=2-x²-y²所围立体的体积V。
答案我都看懂了，我是怎么个意思呢：关键是我图不会画，一点概念也没有，确定不了边界，上下限。下一节是三重积分，我看都是这样的立体图形，就有点进行不下去了。
还有像这道：求由四个平面x=0,x=1,y=0,y=1所围的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积。二重积分的直角坐标下计算和极坐标计算我都会，比较熟练，平面的简单图形都能画出来。
所以我想问这种题一定得画图么？有没什么技巧，窍门啥的不用画图，说下啊！如果必须画图，哪位高手告诉我怎么画，怎么做！
谢了！满意我一定追加！

Answer 1

立体的问题图要画的，画不好不要紧，关键要把大概弄清楚。
至于边界，不需要图来看出，而是通过条件解出来。
例如第一题，联立AB可以知道边界是x²+y²=1及z=1，在头脑或者纸上就有这个影像，它是个对称的橄榄体，求它面积的二重积分范围应该是x²+y²《1。然后列出积分式子进行转化和求出。
至于第二题，首先明白它是个柱体，上下面分别被2x+3y+z=6及z=0所截。这里首先要判断上表面2x+3y+z=6与下表面z=0在柱体范围内是否相交，由于最低点在x=1，y=1上，此时z=1>0，说明在柱体范围内不相交，于是可以列出该二重积分的范围是0《x《1，0《y《1了。
总之，做这类题目，最好是画下示意图先，不求很精准，但要能体现出它的特点来。然后边界问题还是通过计算来获得。
好了，说了这么多希望能对你有所收获