Question

函数奇偶性和单调性的综合运用

（1）已知奇函数f（x）在[ a,b]上是减函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数？
（2）已知偶函数g(x)在[ a,b]上是增函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数？
（过程要规范！！）

Answer 1

有一个规律：奇函数在对称区间上的单调性相同
偶函数在对称区间上的单调性相反

证明如下：
（1）若-b<=x1<x2<=-a,那么a<=-x2<-x1<=b
由于奇函数在[a,b]上是减函数，故有：f(-x2)>f(-x1)
又根据奇函数的性质可得：f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2)
综上可得：f(x1)>f(x2)
故f(x)在[-b,-a]上是减函数

（2）基本步骤同（1）
若-b<=x1<x2<=-a,那么a<=-x2<-x1<=b
由于奇函数在[a,b]上是增函数，故有：f(-x2)<f(-x1)
又根据奇函数的性质可得：f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
综上可得：f(x1)>f(x2)
故f(x)在[-b,-a]上是减函数

Answer 2

（一）解：设x1,x2∈[-b,-a]，且x1＜x2
∴-x1＞-x2
∵奇函数在[a,b]上是减函数
∴f(-x1)＞f(-x2)
∵它是奇函数
∴-f(x1)＞-f(x2)
∴f(x1)＜f(x2)
∴它在[ -b,-a]上是减函数
（二）解：设x1,x2∈[-b,-a]，且x1＜x2
∴-x1＞-x2
∵奇函数在[a,b]上是增函数
∴f(-x1)＜f(-x2)
∵它是偶函数
∴f(x1)＜f(x2)
∴它在[ -b,-a]上是减函数

Answer 3

因为f（x）为减函数，所以f（a）-f（b）〉 0所以f（a）〈f（b）又因为f（x）是奇函数，即-f（-a）〉-f（-b） 即f（-a）〈f（-b）又因为-a〉-b 即f（x）在[-b，-a]上是减函数

Answer 4

不会

Answer 5

奇函数在相反的区间，单调性相同。因此是增函数。
偶函数在相反的区间，单调性相反，因此是增函数。