Question

已知a、b、c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被x2+3x-4整除。（1）：求4a+c的值（2）：求2a-2b-c的值

字母后放大的数字是平方和次方啊

Answer 1

1.我们根据次数关系，知道x^3+ax^2+bx+c的另一个因式应该是一次的，可设为
x+d
则满足(x^2+3x-4)(x+d)=x^3+ax^2+bx+c
展开左式有
x^3+(d+3.)x^2+(3d-4)x-4d=x^3+ax^2+bx+c
于是对应次数可得到
d+3=a
3d-4=b
-4d=c
于是:
(1)4a+c=4d+12-4d=12
(2)2a-2b-c=14

Answer 2

令(x^2+3x-4)(x+e)=x^3+ax^2+bx+c
x^3+(e+3)x^2+(3e-4)x-4e=x^3+ax^2+bx+c
a=e+3
b=3e-4
c=-4e

4a+c=4(e+3)-4e=4e+12-4e=12
2a-2b-c=2(e+3)-2(3e-4)+4e
=2e+6-6e+8+4e
=14

Answer 3

解：∵x2+3x-4=（x+4）（x-1），
∴x3+ax2+bx+c能被（x+4）（x-1）整除，
即-4，1是方程x3+ax2+bx+c=0的两根．
把x=-4和x=1分别代入x3+ax2+bx+c=0，得16a-4b+c=64①a+b+c=-1②​，
①-②×6，得10a-10b-5c=70，
两边除以5，得2a-2b-c=14．
故答案为14．

Answer 4

显然，整除后的多项式为x+d，d未知，
即（x2+3x-4）（x+d）=x3+ax2+bx+c，
x3+(3+d)x2+(3d-4)x-4d=x3+ax2+bx+c
a=d+3;b=3d-4,c=-4d;
可知，4a+c=4d+12-4d=12;
2a-2b-c=2d+6-6d+8+4d=14

Answer 5

设x^3+ax^2+bx+c=(x^2+3x-4)(x+k)=x^3+(3+k)x^2+(3k-4)x-4k
==>a=3+k
==>b=3k-4
==>c=-4k

4a+c=12
2a-2b-c=6+2k-6k-8+4k=-2