Question

一道数学竞赛题，高手进啊，谢谢

实数a、b、c满足a≤b≤c，且ab+ac+bc=0,abc=1,求最大实数k，使得不等式丨a+b丨≥k丨c丨恒成立

Answer 1

因为abc=1，所以a，b，c都不为0，且ab+ac+bc=1/c+1/b+1/a=0
因为a≤b≤c，所以a<0,b<0,c>0
ab+ac+bc=ab+(a+b)c=1/c+(a+b)c=0,所以a+b=-1/c^2
所以|（a+b)/c|=1/c^3
要使得不等式恒成立，即求|（a+b)/c|=1/c^3的最小值，即求c的最大值。
由题意c=1/ab=-ab/(a+b),故a^2*b^2=-(a+b)>=2根下ab
当“=”号成立时，ab取得最小值，此时a，b满足(ab)^3=4,相应的c取到最大
故k=min{1/c^3}=min{(ab)^3}=4

Answer 2

解：
ac+bc=-ab
c(a+b)=-ab
若丨a+b丨≥k丨c丨
丨c(a+b)丨≥kc^2
丨ab丨≥kc^2
丨abc丨≥k|c^3|
1/|c^3|≥k
求最大实数k
则为求最大实数1/|c^3|
因为a≤b≤c，abc=1
所以|c|的最小值为1
所以最大实数k=1

Answer 3

根据题意，k≤|(a+b)/c|，设最大实数为K，那么
K=max(|(a+b)/c|）=max((|(ac+bc)/c^2|）
=max(|ab/c^2)=max(|abc/c^3|)=max(|1/c^3|)
而c^3≥abc=1,故|1/c^3|≤1，
即 Kmax=1.

Answer 4

a≤b≤c，且ab+ac+bc=0,abc=1得a,b<0， c>0
则丨a+b丨≥k丨c丨化为a+b+kc<=0
两边乘以c ac+bc+kcc<=0
-ab+kcc<=0
-1/c+kcc<=0
因c>0
K<=1

Answer 5

由/a-1/+/b+3/+/3c-1/=0可以得到 a=1,b=-3,c=1/3 (abc)^125/a^9b^3c^2 =a^116b^122c^123 =b^122c^123 =(bc)122*c =-1*c =-c =-1/3 ^是次方的意思