Question

若实数x,y满足4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1),则S=2^x+2^y的取值范围

过程

Answer 1

有4^x=(2^x)^2,
4^y=(2^y)^2成立，设2^x=a,2^y=b
则有a^2+b^2=2a+2b
而不等式a^2+b^2≥[(a+b)^2]/2成立
即2(a+b)=a^2+b^2≥[(a+b)^2]/2
整理得
(a+b)^2-4(a+b)≤0
解得
a+b∈[0,4]
由2^x＞0，2^y＞0
得到S∈(0,4]

Answer 2

解：题设条件可化为(2^x-1)²+(2^y-1)²=2.故可设2^x-1=(√2)cost,2^y-1=(√2)sint.
===>2^x=1+(√2)cost>0,2^y=1+(√2)sint>0.
===>sint,cost＞-√2/2.
===>0≤t<3π/4.
===>s=2^x+2^y=2+2sin[t+(π/4)].
===>s=2+2sin[t+(π/4)].显然2<s≤4.

Answer 3

原式=(2^x)^2+(2^y)^2=2*2^x+2^y 令2^x=t 2^y=b
t^2-2t+b^2-2b=0
(t-1)^2+(b-1)^2=2 表示圆
注意 t b>0
该圆是可行域 s=t+b 是目标方程 你自己画一图
s 表示 斜率为-1 的直线与圆相切时 与Y轴的交点!