Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=1-an(n∈正整数)各项为正数的数列{bn}中，对于一切n∈正整数，

有∑(n,k=1)1/√bk+√bk+1=n/√b1+√bn+1且b1=1,b2=2,b3=3求数列bn和an的通项公式设数列{anbn}的前n项和为Tn，求证Tn<2(∑题中的符号上是n，下是k=1，k，k+1，n+1均为下标)

Answer 1

1.
n=1时，a1=S1=1-a1
a1=1/2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=1-an-[1-a(n-1)]
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2，为定值，数列{an}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an=(1/2)(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ
n=1时，1/(√b1+√b2)=1/(√1+√2)=√2-1
n≥2时，
1/(√b1+√b2)+1/(√b2+√b3)+...+1/[√bn+√b(n+1)]=n/[√b1+√b(n+1)] (1)
1/(√b1+√b2)+1/(√b2+√b3)+...+1/[√b(n-1)+√bn]=(n-1)/[√b1+√bn] (2)
(1)-(2)
1/[√bn+√b(n+1)]=n/[√b1+√b(n+1)] -(n-1)/[√b1+√bn]=n/[√b(n+1) +1]-(n-1)/(√bn +1)
去分母，整理，得
nbn-(n-1)b(n+1)=1
等式两边同除以n(n-1)
bn/(n-1) -b(n+1)/n=1/[n(n-1)]=1/(n-1) -1/n
(bn -1)/(n-1)=[b(n+1) -1]/n
(b2-1)/(2-1)=(2-1)/(2-1)=1，数列{(bn -1)/(n-1)}从第2项开始，是各项均为1的常数数列
(bn -1)/(n-1)=1
bn=n
n=1时，b1=1；n=2时，b2=2，n=3时，b3=3，均满足通项公式
数列{bn}的通项公式为bn=n
2.
anbn=n/2ⁿ
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn=1/2+2/2²+3/2³+...+n/2ⁿ
Tn /2=1/2²+2/2³+...+(n-1)/2ⁿ+n/2^(n+1)
Tn -Tn /2=Tn /2=1/2+1/2²+...+1/2ⁿ -n/2^(n+1)
=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n+1)
=1- (n+2)/2^(n+1)
Tn=2- (n+2)/2ⁿ
(n+2)/2ⁿ>0 2-(n+2)/2ⁿ<2
Tn<2，不等式成立。