Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D，

（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）过O点作EC的垂线，垂足为H，求证：EH•BE=BD•CO．

Answer 1

(1)证明：连接OE
因为以AC为直径作圆O与BC交于点E
所以角AEC=90度
OA=OE=OC
所以角OAE=角OEA
角OEC=角C
因为三角形ABC是等腰三角形
所以AE是等腰三角形ABC的垂线
所以AE是等腰三角形ABC的角平分线
所以角DAE=角OAE
所以角DAE=角OEA
因为ED垂直AB
所以角ADE=角BDE=90度
因为角ADE+角AED+角DAE=180度
所以角DAE+角AED=90度
所以角AED+角OEA=角OED=90度
因为OE是圆O的半径
所以DE是圆O的切线
（2）解：因为AB=AC
所以角B=角C
因为角OCE=角C（已证）
所以角B=角OEC
因为OH垂直EC
所以角EHD=90度
因为角BDE=90度（已证）
所以角BDE=角EHO=90度
所以三角形BDE和三角形EHO相似（AA)
所以BD/EH=BE/CD
所以EH*BE=BD*CD

Answer 2

1、连接OE，AE
∵AC是直径
∴∠AEC=∠AEB=90°
即AE⊥BC
∵AC=AB
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
即∠OAE=∠BAE
∵OA=OE
∴∠OEA=∠OAE=∠BAE
∵DE⊥AB
∴∠AED+∠BAE=90°
∠AED+∠BED=90°
∴∠BAE=∠BED=∠OEA
∴∠OED=∠OEA+∠AED=∠BED+∠AED=∠AEB=90°
∴OE⊥DE
∴DE为⊙O的切线
2、∵AB=AC
∴∠C=∠B
∵OH⊥BC，DE⊥AB
∴∠OHC=∠BDE=90°
∴△COH∽△BED
∴OC/BE=CH/BD
∵OC=OE，OH⊥BC
∴CH=EH(等腰三角形三线合一）
∴OC/BE=EH/BD
即EH•BE=BD•CO