Question

求一道高二数学不等式题的解、拜托啦！

求一道数学题的解 拜托帮帮啦！ 已知a,b,c是不全等的正数，求证（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c*c）>16abc

Answer 1

a+b>=2[ab],
ab+a+b+1>=ab+2[ab]+1>=([ab]+1)^2>=4[ab]……………………………一式
ab+ac+bc+c*c=(a+c)*(b+c)>=4[ab]c……………………………………二式
因为abc不全等，所以：由一式，二式。得：
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)>16abc
其中[]表示根号

Answer 2

(ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）
=[a（b+1）+（b+1）][a（b+c）+c（b+c）]
=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥2√a*2√b*2√ac*2√bc=16abc
又∵a,b,c是不全等的正数
∴等号取不到
即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）>16abc

Answer 3

（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c*c）
=aabb+aabc+abbc+abcc+aab+aac+abc+acc+abb+abc+bbc+bcc+ab+ac+bc+cc
=(ab/c+a+b+c+a/c+a/b+1+c/b+b/c+1+b/a+c/a+1/c+1/b+1/a+c/ab)*abc
因为x+y≥2√（xy)
所以(ab/c+a+b+c+a/c+a/b+1+c/b+b/c+1+b/a+c/a+1/c+1/b+1/a+c/ab)*abc
≥（2+2+2+2+2+2+2+2）*abc
=16abc
因为a,b,c,不全等
所以不取等号
所以（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c*c）>16abc

Answer 4

原式=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)
a+1>=2根号a 当且仅当a=1时取等号
b+1>=2根号b 当且仅当b=1时取等号
a+c>=2根号ac 当且仅当a=c时取等号
b+c>=2根号bc 当且仅当b=c时取等号
又因为a和b不同时等于1
abc都不相等
所以上面4项至多有一项取等号 且取等号的项>1
所以原式>2根号a*2根号b2根号ac*2根号bc=16abc