Question

设函数fx在[a,b]上连续,且a<f(x)<b,证明:在(a,b)内至少有一点ζ,使f(ζ)=ζ。怎么证明？

把证明内容写下，详细点，谢谢！

Answer 1

用零值定理来证明
构造一个函数F(x)=f(x)-x，
因为在（a,b)区间上
F（X）的两个端点满足
F(a)=f(a)-a>0
F(b)=f(b)-b<0
所以有连续函数在区间上满足零值定理的条件
所以在（a,b）上至少存在一点c
使得F(c)=0
就是f(c)-c=0
f(c)=c

Answer 2

取 g(x) = f(x) - x，易证明 g(x) 同样在 [a,b]上连续。
g(a) = f(a) - a > 0，
g(b) = f(b) - b < 0，
g(a)g(b) < 0.因此，根据连续函数的性质（零点定理），在（a, b）内至少存在一点ζ，使g(ζ)=0，即 f(ζ) = g(ζ) + ζ = ζ.

Answer 3

令g(x)=f(x)-x,所以g(a)<0,g(b)>0,因为f连续->g也连续,根据连续函数的性质,必存在ζ,使g(ζ)=0,此时f(ζ)=ζ