Question

怎么判断是有界函数还是无界

Answer 1

我先问几个问题
1、f(x)∈(a,b)，f(x)有界吗？g(x)∈[a,b],g(x)的上界是b，下界是a，这应该没错吧。
2、有极限的函数不一定有界？举个例子
3、f(x)无界就是代表当x∈(a,b)时，f(x)→∞吗？还是代表其他的？

追答

从你的叙述来看你确实完全不知道定义，而且对于很多概念可能都比较模糊，叙述也很不清晰，有必要引起重视。

定义：
假定f是D->R的函数，如果存在实数M使得f(x)=m对一切x∈D成立，那么称f有下界，m是f的一个下界。
如果f既有上界又有下界，那么称f有界，否则称f无界。

你先要设法理解定义，搞懂了什么问题都有希望解决，搞不懂的话记一堆结论也没用。

回到你的问题，有必要帮你修正一下叙述方式
1.如果f的值域包含于有限区间(a,b)，那么f有界，b是f的一个上界（不要反过来说上界是b，因为上界一旦存在就有无穷多个）。

2.如果x->A时lim f(x)存在，那么f在A的局部有界，也就是说存在A的邻域(A-t,A+t)以及实数M使得|f(x)|1/2时是否有极限和x->0的行为没有任何关系。

3.无界和极限无穷大是两码事。无界就是不满足有界的条件，没别的意思。
如果x->A时lim f(x)=oo，那么f在A的附近是无界的。
但是无界的函数未必需要有无穷极限，比如
f(x) = 0，x是无理数
f(x) = q，x=p/q是有理数，且p/q既约，q>0
这个函数无界但是处处没有无穷极限。