线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义 10
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对于任意矩阵A（甚至是非方的），A(T)A（这个时候就变成方阵了，可以算特征值了）的特征值就称为A的奇异值。奇异值有个特性，就是A(T)A和AA(T)特征值相同。证明如下：
假定A(T)A做了一个特征分解，为：A(T)A = QΣQ(T)
对上式取转置，有AA(T) = QΣ(T)Q(T)
显然，Σ是个对角阵，因而，Σ(T) = Σ
故而，AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解，即共特征值。
扩展资料：
将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，......,最末一行变为最末一列， 从而得到一个新的矩阵N。
设A为n阶方阵，X=(x1，… ，xn)′，二次型f= X′AX的矩阵为：
解：因为未假设A对称，所以f= X′AX虽然是n元二次型，但不能肯定其矩阵是A。只有A对称时，二次型f= X′AX的矩阵才是A。
由于一阶矩阵的转置不变，所以(X′AX)′=X′AX，即就是：X′A′X= X′AX。
由此可得：f= X′AX= X′*1/2*(A+ A′)*X。
注意到1/2(A+ A′)是对称矩阵，所以二次型f= X′AX的矩阵为1/2(A+ A′)。
无论采用的设备多精密，方法有多好，总是会存在一些误差的。由于大的奇异值对应着矩阵中的主要信息，因此可以运用奇异值分解进行数据分析，提取矩阵的主要信息。
参考资料来源：百度百科——奇异值
参考资料来源：百度百科——转置
（下面以A(T)表示A的转置。）
先从奇异值说起。我个人的理解，奇异值是特征值的一种推广。因为只有方阵才可能具有特征值，对于实际遇到的一些问题（比如最小二乘问题），往往遇上长方阵，长方阵根本没有特征值。因而就有必要对特征值做推广，这就是奇异值。
再看什么是奇异值。对于任意矩阵A（甚至是非方的），A(T)A（这个时候就变成方阵了，可以算特征值了）的特征值就称为A的奇异值。奇异值有个特性，就是A(T)A和AA(T)特征值相同。证明如下：
【假定A(T)A做了一个特征分解，为：
A(T)A = QΣQ(T)
对上式取转置，有
AA(T) = QΣ(T)Q(T)
显然，Σ是个对角阵，因而，Σ(T) = Σ
故而，AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解，即共特征值】
再看特征值和奇异值的关系。对于长方阵来说，它根本不存在特征值，所以之后再讨论。对于方阵来说，容易证明，其所有奇异值恰好为其所有特征值的模长的平方（即奇异值全实非负），因而奇异值和特征值有相当良好的对应关系。证明如下：
【假定方阵A有如下特征分解：
A = QΣQ(T)
则A(T)A = (QΣQ(T))(QΣQ(T)) = QΣΣQ(T)
因而，A(T)A的特征值，也就是A的奇异值，恰好为A的特征值的模长的平方】
【当然，对于复数域情况，里边的T要改成H，那么前一个Σ自然会带上复共轭】
再看奇异值为什么重要。我们知道，对于一个方阵来说，特征分解后，从特征值和特征向量我们就可以知道矩阵的大量性质。对于非方阵来说，我们也希望得到一个这样信息量巨大的分解，这就是奇异值分解（SVD）。这个SVD分解里边左右奇异向量分别是什么你的书上肯定都有，就不写在这里了。
最后看一下SVD分解和最小二乘的关系。我们知道，最小二乘有个解法，对于Ax = b的最小二乘问题，等价于求解其法方程A(T)Ax = A(T)b，这个时候就变成方阵的问题了。但是这种算法是不稳定的。一种更为有效的算法就是SVD分解并利用广义逆求解。
看一下广义逆和最小二乘、SVD的关系。广义逆可以百度一下。定义有很多式子。但是，对于可逆阵来说，广义逆就是逆。这里把A的广义逆记作A(+)。则Ax = b的最小二乘解就是x = A(+)b。所以，现在的问题就是，怎么求A的广义逆A(+)。通过SVD分解，广义逆可以这么求：
如果A有SVD分解如下：
A = VΣU(T)
则A(+) = UΣV(T)
当然，这里叙述可能不那么严谨。因为还涉及到Σ的形状什么的，所以两个式子的Σ形状大小不一样，形状变了，补0就行。
因此，SVD分解就完美解决了最小二乘问题。
-----更正---------
说错了一点点，奇异值不是特征值的模长的平方，它就是模长，因为奇异值要对Σ(H)Σ对角线开算术平方根。
那对于最小二乘法，为什么要在左右乘上A的转置进行求解呢？
那种解法称作“法方程”解法。相当于求得一个x，使得A(T)(b-Ax)=0，也就是残差与矩阵A行向量的内积为0，即残差与矩阵A的行空间正交，由投影定理，可以证明，此时残差二范数最小。以上就是法方程的几何意义。法方程的解恰好是最小二乘解还有其他更严格的证明，比如泛函式的证明。但是，法方程法不是最佳解法。一般较优解法是QR分解法以及广义逆法（配合SVD分解）。手机打字有些慢。要是还有问题可以追问，明天我电脑上再接着说。
求证明...那最小二乘法中的A的转置与A相乘呢？
我们写成矩阵之后假如是Y=Xb+e YXb都是矩阵，e是那个误差（error）
所以e=Y-Xb,要求(Y-Xb)^2的最小值，(Y-Xb)^2=(Y-Xb)'(Y-Xb)=-2X'(Y-Xb) 这一步就是公式变换
另 -2X'(Y-Xb) =0 就可以求解b了
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