Question

『紧急求助』：已知圆C：（X-1）的平方+（Y-2）的平方=25，直线L：（2m+1）X+（m+1）Y-7m-4=0．（1）求...

『紧急求助』：已知圆C：（X-1）的平方+（Y-2）的平方=25，直线L：（2m+1）X+（m+1）Y-7m-4=0．（1）求证：直线L恒过定点．（2）判断直线L被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．

Answer 1

因为直线l可转化为x+y-4+m(2x+y-7)=0，所以直线l恒过定点M(3，1)
直线l与MP(P为圆心)重合时，所截弦最长，与MO垂直时所截弦最短。MO^2=5且r=5故最短弦长=2*√(25-5)=4√5.此时-(2m+1)/(m+1)=2，解得m=-3/4.

Answer 2

2x+y-7=0 ①
x+y-4=0 ②
联立解得x=3 y=1，恒过点(3,1)

该点在圆内，当该点与圆心的连线与该直线垂直时弦最短
圆心到点(3,1)为√(1-3)^2+(2-1)^2=√5,故所最短长度为2*√(5^2-5)=4√5