Question

如图，AB、Ac、AD是圆中的三条弦点E在边AD上，切AB=AC=AE。求（1）角CAD=2角DB

如图，AB、Ac、AD是圆中的三条弦点E在边AD上，切AB=AC=AE。求（1）角CAD=2角DBE（2）AD平方-AB平方=BD.DC

Answer 1

解（1）：

△ABE中，∠FBE=∠ABE-∠ABC

△BED中，外角∠AEB=∠DBE+∠ADB,  则∠DBE=∠AEB-∠ADB

∵∠ABD=∠ACB（圆周角相等）

已知AB=AE=AC

∠ABC=∠ACB , ∠ABE=∠AEB

∴∠DBE=∠ABE-∠ABC

则∠FBE=∠DBE,  ∠CBD=∠FBE+∠DBE=2∠DBE

又∵∠CDB=∠CAD（圆周角相等）

∴∠CAD=2∠DBE

解（2）：

∠CBD=∠CAD、∠ADB=∠ACB、∠ADC=∠ABC（圆周角相等）

∵∠ABC=∠ACB（已知）

∴∠ADB=∠ADC

则△BFD≌△ACD（二角相等）

BD/AD=(AD-AF)/DC    AD2-AD*AF=BD*DC

又∵∠ADB=∠ABC

则△ABD≌△AFB（二角相等）

AB/AD=AF/AB   AD*AF=AB2

代入上式得出：AD2-AB2=BD*DC