Question

已知函数f(x)=log₄(ax²+2x+3) (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间 （

2）是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在求出a的值，若不存在，说明理由

Answer 1

1、f(x)=log4 (ax²+2x+3)
f(1)=log4 (a+2+3) =log4 (a+5)=1
所以a+5=4，a=-1
则 f(x)=log4 (-x²+2x+3)
-x²+2x+3＞0，解得 -1＜x＜3，此为函数的定义域
当-1＜x≤1时，-x²+2x+3为增函数，f(x)=log4 (-x²+2x+3)也为增函数
当1≤x＜3时，-x²+2x+3为减函数，f(x)=log4 (-x²+2x+3)也为减函数
2、f(x)=log4 (ax²+2x+3) ≥0
即ax²+2x+3≥1，即ax²+2x+2≥0
欲使上式有解，需满足方程的△≤0
即△=b²-4ac=4-8a≤0
解得a≥1/2
因为f(x)的最小值为0，所以a=1/2
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