Question

已知抛物线y=ax²+bx+c于y轴交于点c，于x轴交于点a﹙x1,0﹚，b﹙x2,0﹚（x1＜x

2﹚，顶点m的纵坐标为-4，若x1,x2是方程x²-2（m-1)x+m²-7=0的两个根，x1²+x2²=10
（1）求a，b两点的坐标
（2）求抛物线的解析式及点c的坐标
（3）在抛物线上是否存在点p，使△pab的面积等于四边形acmb的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、
因为x1，x2是方程x^2-2(m-1)x+m^2-7=0的两个根
所以x1+x2=2(m-1) ，x1*x2=m^2-7
又因为(x1)^2+(x2)^2=10
所以(x1+x2)^2-2x1*x2=10
即[2(m-1)]^2-2(m^2-7)=10
整理得:m^2-4m+4=0
所以m=2
代入x^2-2(m-1)x+m^2-7=0 得
x^2-2x-3=0
解得x1=-1，x2=3
所以A、B的坐标为:A(-1，0)，B(3，0)

2、
把A、B坐标代入y=ax^2+bx+c，得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
因为抛物线y=ax^2+bx+c顶点M的纵坐标为-4
所以(4ac-b^2)/(4a)=-4
上述三式组成方程组，解得
a=1，b=-2，c=-3 (a=0不合，已舍去)
所以抛物线的解析式是
y=x^2-2x-3
当x=0时，y=-3
所以C点坐标是(0，-3)

3、
抛物线y=x^2-2x-3的顶点是M(1，-4)，AB=3-(-1)=4
设点P的坐标为(x，y)
S△PAB=AB*|y|/2=4*|y|/2=2|y|
过M作MN⊥X轴，交X轴于N点，则
S四边形ACMB=S△AOC+S△BNM+S梯形MNOC
=1*3/2+(3-1)*4/2+(3+4)*1/2
=9
若S△PAB=2S△PAB
则有2|y|=2*9=18
所以|y|=9>4，
所以P在X轴的上方
所以y=9
所以9=x^2-2x-3
即x^2-2x-12=0
解得x=1±√13
所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍，坐标为:P1[(1+√13)，9]，P2[(1-√13)，9]
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