Question

在两个相离的任意半径的圆内各取一个点，两点间的距离满足特定的概率分布么？

假设两个圆半径大小已知，分别为R,r，且R>=r, 两圆心距离已知为H,且H>=R+r
也可以表述为：
二维随机变量A（x1，y1）服从x1^2+y1^2<=R^2上的均匀分布
二维随机变量B（x2，y2）服从(x2-H)^2+y2^2<=r^2上的均匀分布
求Z=√[（y1-y2)^2+(x1-x2)^2]的概率分布

Answer 1

----------隐公八年春，宋公、卫侯遇于垂。

Answer 2

提供一个思路：设第一个圆圆心为原点，那么由于A,B服从均匀分布:
P（A=（x1，y1），B=（x2，y2））=1/πr^2*1/πR^2,
对B用全概率公式：
P（Z^2=a^2）=P((x2-x1)^2+(y2-y1)^2=a^2)
=∫ P((x1-b2)^2+(y1-c2)^2=a^2丨(x2=b2，y2=c2)）*P(x2=b2，y2=c2) db2 dc2
=1/πr^2*∫ P((x1-b2)^2+(y1-c2)^2=a^2丨(x2=b2，y2=c2)）db2 dc2（由于B服从均匀分布）
为了计算简便，做变量代换（b2,c2）→（ ρ,θ），把B分布换成极坐标的形式（注意换成极坐标后B就不是均匀分布了）
然后计算上面式子的条件分布概率：
P((x1-b2)^2+(y1-c2)^2=a^2丨(x2=b2，y2=c2)）=
P（A点服从x1^2+y1^2<=R^2上的均匀分布，A点到一个固定点（b2,c2）的长度为a）=
以（b2,c2）为圆心，半径为a的圆C与圆D：x1^2+y1^2<=R^2相交的弧的长度/πR^2
我的图传不上来，你自己画一下图就可以求这个密度函数，
=（2πR*θ/360）÷πR^2，其中西塔是（b2,c2）到两个圆交点所成扇形的张角，
这也是为什么用极坐标计算方便的原因。