Question

一道高中立体几何问题求详细答案

有两个相同的直三棱柱,高为2/a,底面三角形的边长分别为3a,4a,5a，用他们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,求a的取值范围

最小的三棱柱要怎么拼才好

Answer 1

原直棱柱全面积=2*(1/2)(3a)(4a)+(3a+4a+5a)*(2/a)=12a^2+24
两个原直棱柱全面积之和=2*(12a^2+24)=24a^2+48

拼成一个三棱柱的全面积=(24a^2+48)-2*(1/2)(3a)(4a)=12a^2+48

拼成四棱柱全面积最小的=(24a^2+48)-2*(2/a)(5a)=24a^2+28

24a^2+28<12a^2+48
12a^2<20
a^2<5/3
0<a<(1/3)(根号15)

Answer 2

两个三棱柱表面积是固定的 只有让最大的面相结合 才能弄全面积最小
既然是四棱柱 必须是三棱柱的侧面相结合的 故是5a*2/a的那面 a的取值范围 2/a*5a应大于3a*4a 所以0<a<=根号30/6