Question

设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合，F 1 ，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 ，且过椭圆右焦

设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合，F 1 ，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 ，且过椭圆右焦点F 2 的直线l与椭圆C交于M、N两点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证： 为定值。

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Answer 1

解：抛物线 的焦点为 ∵椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合 ∴椭圆的一个顶点为 ， 即 ∵ ， ∴a=2， ∴椭圆的标准方程为 ； （2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交 ①当直线斜率不存在时，M（1， ），N（1，- ）， ∴ ，不合题意； ②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ） 由 得（3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4k 2 -12=0， ， ， = 所以 ， 故直线l的方程为 或 ； （3）证明：设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），A（x 3 ，y 3 ），B（x 4 ，y 4 ） 由（2）可得：|MN|= = 由 消去y， 并整理得： ， |AB|= ， ∴ 为定值 。