Question

已知函数f（x）=-x2+2ax-1，若f（x）在[-1，1]上的最大值为g（a），求g（a）的解析式

已知函数f（x）=-x2+2ax-1，若f（x）在[-1，1]上的最大值为g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

由题意得，f（x）=-（x-a）²+a²-1，
①当a≤-1时，f（x）在[-1，1]上单调减，
∴f（x）_max=f（-1）=-2a-2，
②当-1＜a＜1时，f（x）在[-1，a]上单调增，在（a，1]上单调，
∴f(x)max＝f(a)＝a2?1，
③当a≥1时，f（x）在[-1，1]上单调增，
∴f（x）_max=f（1）=2a-2，
综上得，g(a)＝

?2a?2 ，a≤?1 a2?1 ，?1＜a＜1 2a?2 ，a≥1

．