Question

如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连EN，求证：AE=CN+EN

如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连EN，求证：AE=CN+EN．

Answer 1

证明：延长CN至F，使CF=AE，连接BF，
∵没慧∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，
∵CN⊥AE，
∴∠COE=90°，
∴∠CEA+∠1=90°，∠CEA+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△CAE和△BCF中

AC＝BC ∠1＝∠2 AE＝CF

∴枯并答△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF，
∵∠CBA=45°，
∴∠FBN=45°=∠EBN，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=BF，
在△EBN和△FBN中

BE＝BF ∠EBN＝∠FBN BN＝BN

∴△EBN≌△FBN（SAS）蔽隐，
∴NE=NF，
∴AE=CN+EN．

Answer 2

作BM⊥BC交CN的延长线于M,
易知旅返△拆肢饥ACE≌△CBM(ASA),
∴AE=CM,CE=BM,
又BE=CE,
∴BE=BM,
易知∠MBN=∠EBN=45°，
∴△MBN≌△EBN(SAS),
∴MN=EN,
∴饥庆AE=CN+EN.