如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,AD=3CD(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若⊙O
如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,AD=3CD(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积....
如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,AD=3CD(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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(1)连接OC,BC,
∵AC=CD,OA=OC,
∴∠A=∠D,∠A=∠OCA,
∴∠A=∠D=∠OCA,
∴△OAC∽△CAD,
∴AC:AD=OA:AC,
∵AD=
CD,
∴OA:OC=1:
,
∵AB=2OA,
∴
=
,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,且cos∠A=
,sin∠ABC=
,
∴∠A=∠ACO=∠D=30°,∠ABC=60°,
∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°,
即OC⊥CD,
∵C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的半径为2,
∴OC=2,
在Rt△OCB中,∠D=30°,
∴CD=
=2
,
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=
×2×2
∵AC=CD,OA=OC,
∴∠A=∠D,∠A=∠OCA,
∴∠A=∠D=∠OCA,
∴△OAC∽△CAD,
∴AC:AD=OA:AC,
∵AD=
3 |
∴OA:OC=1:
3 |
∵AB=2OA,
∴
AC |
AD |
| ||
2 |
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,且cos∠A=
| ||
2 |
| ||
2 |
∴∠A=∠ACO=∠D=30°,∠ABC=60°,
∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°,
即OC⊥CD,
∵C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的半径为2,
∴OC=2,
在Rt△OCB中,∠D=30°,
∴CD=
OC |
tan30° |
3 |
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=
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