如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,AD=3CD(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若⊙O

如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,AD=3CD(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.... 如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,AD=3CD(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积. 展开
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挚爱慧莹0451
2015-02-07 · 超过51用户采纳过TA的回答
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(1)连接OC,BC,
∵AC=CD,OA=OC,
∴∠A=∠D,∠A=∠OCA,
∴∠A=∠D=∠OCA,
∴△OAC∽△CAD,
∴AC:AD=OA:AC,
∵AD=
3
CD,
∴OA:OC=1:
3

∵AB=2OA,
AC
AD
=
3
2

∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,且cos∠A=
3
2
,sin∠ABC=
3
2

∴∠A=∠ACO=∠D=30°,∠ABC=60°,
∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°,
即OC⊥CD,
∵C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线;

(2)∵⊙O的半径为2,
∴OC=2,
在Rt△OCB中,∠D=30°,
∴CD=
OC
tan30°
=2
3

∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=
1
2
×2×2
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