Question

设a，b为正实数，下列结论正确的是（　　）①若a2-b2=1，则a-b＜1； ②若1b?1a＝1...

设a，b为正实数，下列结论正确的是（　　）①若a2-b2=1，则a-b＜1； ②若1b?1a＝1，则a-b＜1；③若|a?b|＝1，则|a-b|＜1； ④若|a3-b3|=1，则|a-b|＜1．A．①②B．②④C．①③D．①④

Answer 1

①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确； ②若若

1

b

?

1

a

＝1，可取a=7，b=

7

8

，则a-b＞1，∴②错误；
③若若|

a

?

b

|＝1，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误；
④由|a³-b³|=1，
若a＞b，则a³-b³=1，即a³-1=b³，即（a-1）（a²+1+a）=b³，
∵a²+1+a＞b²，∴a-1＜b，即a-b＜1
若a＜b，则b³-a³=1，即b³-1=a³，即（b-1）（b²+1+b）=a³，
∵b²+1+b＞a²，∴b-1＜a，即b-a＜1
∴|a-b|＜1∴④正确；
所以正确的答案为①④．
故选D．

Answer 2

①若a2-b2=1，则a2-1=b2，即（a+1）（a-1）=b2，
∵a>0 ∴ a+1>1 > 0
∵b2>0 ,a+1>0 ∴a-1 >0 (两数相乘，同号为正，异号为负)
∵ 1 >-1 ∴ a+1＞a-1，
∴ （a-1）（a-1）＜（a+1）（a-1）=b2
∴a-1<b
∴a-1＜b，即a-b＜1，

①正确；