Question

已知双曲线x216?y225＝1的左焦点为F1，点P为双曲线右支上一点，且PF1与圆x2+y2=16相切于点N，M为线段PF1

已知双曲线x216?y225＝1的左焦点为F1，点P为双曲线右支上一点，且PF1与圆x2+y2=16相切于点N，M为线段PF1的中点，O为坐标原点，则|MN|-|MO|=______．

Answer 1

∵双曲线

x2

16

?

y2

25

＝1中，a=4且b=5，
∴c=

a2+b2

=

41

．
连结ON、PF₂，
∵PF₁与圆x²+y²=16相切于点N，∴ON⊥F₁P，
在Rt△ONF₁中，|F₁N|=

c2?a2

=5
∵△PF₁F₂中，M为线段F₁P的中点，O为坐标原点，∴|MO|=

1

2

|PF₂|，
由此可得：|MN|-|MO|=|MF₁|-|F₁N|-

1

2

|PF₂|=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）-5
∵点P在双曲线的右支上，可得|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
∴|MN|-|MO|=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）-5=

1

2

×8?5=-1．
故答案为：-1