Question

如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球

如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球．这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置．设弹簧的形变总是在其弹性限度内．试在下述（a）、（b）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0．（1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米．（2）在转动过程中，发现小球离原水平的高度不断增大．

Answer 1

（1）因为整个缓慢移动的过程中的每时每刻都受力平衡，设弹簧长度为x，转过角度为α，
故有：mgsinα=k（L₀-x）①
      h=xsinα②
将①中的x带入②得：h=

kx(L0?x)

mg

小球距原水平面的高度出现极大值为40厘米，根据二次三项式的最值条件得：40mg=

kL 2 0

4

故得，k=

160mg

L 2 0

＝

1.6mg

100

转到竖直位置时，小球的高度 h0＝L0?

mg

k

＝100?

100

1.6

cm＝37.5cm
（2）在转动过程中设弹簧长度为x，转过角度为θ，
故有：mgsinθ=k（L₀-x）①
      h=xsinθ②
联立解得h=（l₀sinθ-

mg

k

sin2θ）=-

mg

k

(sinθ?

kl0

2mg

)2+

kl 2 0

4mg

因小球离原水平的高度不断增大，故极值点不存在，即sinθ＞1，得kL₀＞2mg，代入解得50cm≤h₀≤100cm
答：（1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值h_m为40厘米，h₀为37.5厘米．
（2）在转动过程中，发现小球离原水平的高度不断增大，50cm≤h₀≤100cm．