Question

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是 BD 的中点，连

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是 BD 的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

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Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC ∽ △BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． （2）∵BD=5，CD=4， ∴BC=9， ∵△ADC ∽ △BAC（已证）， ∴ AC BC = CD AC ，即AC 2 =BC×CD=36， 解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD= AC 2 -C D 2 =2 5 ， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA-CD=2， 在Rt△AFD中，AF= DF 2 +A D 2 =2 6 ．