Question

如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF．（1）四边形AEFD是什么形状？（2）当△

如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF．（1）四边形AEFD是什么形状？（2）当△ABC满足条件______时，四边形AEFD不存在；（3）在△ABC中，当AC=3，AB=4，BC=5时，求四边形AEFD的面积．

Answer 1

（1）四边形AEFD是平行四边形；
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，BD=BA，BF=BC
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，

BD＝BA ∠DBF＝∠ABC FB＝CB

，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

（2）△ABC是等边三角形时，A与F重合，四边形AEFD不存在；

（3）∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴FD∥AE，
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S_?AEFD=AD?DF?sin30°=3×4×

1

2

=6．
答：四边形AEFD的面积是6．