Question

（2013?自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，D

（2013?自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．
（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，
即OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD=MB=

1

2

BD=3

3

．
在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=

MB

cos30°

=

3 3

3 2

=6．
在△CDM与△OBM中，

∠CDM＝∠OBM＝30° MD＝MB ∠CMD＝∠OMB＝90°

∴△CDM≌△OBM（ASA），
∴S_△CDM=S_△OBM
∴阴影部分的面积S_阴影=S_扇形BOC=

60π?62

360

=6π（cm²）．