Question

已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，

已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[12，1]上的最小值．

Answer 1

（1）由函数f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R，x＞0），
可得f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1?2a)x?1

x

=

(2ax+1)(x?1)

x

．
令f′（x）≥0，由于a＞0，x＞0，∴

2ax+1

x

＞0，∴x-1≥0，解得x≥1．
因此函数f（x）的单调增区间是[1，+∞）；
（2）由（1）可得f′（x）=

2a(x? 1 ?2a )(x?1)

x

．
由于a＜0．
当

1

?2a

≥1即?

1

2

≤a＜0时，f′（x）≤0，因此函数f（x）在区间[

1

2

，1]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=a+1-2a-0=1-a．
当0＜?

1

2a

≤

1

2

即a≤-1时，f′（x）≥0，因此函数f（x）在区间[

1

2

，1]上单调递增，
∴当x=

1

2

时，f（x）取得最小值，f(

1

2

)=

1

4

a+

1

2

(1?2a)?ln

1

2a

=

1

2

?

3

4

a+ln2a．
当

1

2

＜?

1

2a

＜1即-1＜a＜-

1

2

时，令f′（x）=0，解得x＝?

1

2a

．
当

1

2

≤x＜?

1

2a

时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当?

1

2a

＜x≤1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
因此当x=?

1

2a

时，f（x）取得最小值，f(?

1

2a

)=1?

1

4a

+ln(?2a)．

Answer 2

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