Question

椭圆的参数方程是怎么证明出来的

Answer 1

可以这样来想，想象着把圆压扁，那我们得到了是椭圆，这是可以想象的。那差的就是用数学语言把它写出来。
我们考察圆到椭圆变换的特征，无非是半径一个被拉长，一个被缩短。想必你应该知道函数的拉伸压缩的变换吧，就是原来是f(x)=0,换成f(ax)=0,其中a是伸缩的系数，按照这个思路。我们开始对圆动手，圆：X^2+y^2=R^2,把R^2移到左边使得右边为0。即X^2+Y^2-R^2=0,把左边记作f(x,y) 因为我们要同时考虑X Y。得等式：f(X,Y)=0 。我们考虑变换系数，我们考虑其中的一种，就是把圆延X轴方向拉伸，Y轴方向压缩。对于X来说，半径拉伸系数为R/a,这里要说明的是，我们的变换对圆上的每个点而言的。同理，Y的拉伸系数为R/b，我们按照变换的思路，f( R/aX, R/bY )=0,代入得到：（RX/a）^2+(RY/b)^2-R^2=0 再把等式改写X^2/a^2+Y^2/b^2=1。那圆参数式也是这个改写嘛，圆：X=RCosθ，Y=RSinθ 类比过来，椭圆：R/aX=RCosθ，R/bY=RSinθ ，化解得 X=a Cosθ，Y=b Sinθ

Answer 2

设A为椭圆上一点:坐标(X,Y).
O=(-c,0).O为椭圆焦点
K是以OX为始边OA为终边的角，
取K为参数，X=|OA|COS(K),
Y=|OB|SIN(K)
,
设参数方程为X=aCOS(K)
Y=bSIN(K)
==>X^2/a^2+Y^2/b^2=(COSK)^2+(SINK)^2=1
为椭圆标准方程
==>
参数方程
X=aCOS(K)
Y=bSIN(K)
为椭圆的参数方程