Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+4，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1}，求f（x）；（2）若1∈A，且1≤a≤2

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+4，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1}，求f（x）；（2）若1∈A，且1≤a≤2，设f（x）在区间 [ 1 2 ，2] 上的最大值、最小值分别为M、m，记g（a）=M-m，求g（a）的最小值．

Answer 1

（1）∵A={1}，∴ax 2 +（b-1）x+4=0有两等根为1．…（2分） ∴ a+(b-1)+4=0 △= (b-1) 2 -16a=0 ，解得 a=4 b=-7 ， ∴f（x）=4x 2 -7x+4．…（4分） （2）∵1∈A，∴a+（b-1）+4=0，∴b=-3-a．…（5分） ∴f（x）=ax 2 -（a+3）x+4= a(x- a+3 2a ) 2 - a 4 - 9 4a + 5 2 ． ∵1≤a≤2，∴对称轴为 x= a+3 2a ∈[ 5 4 ，2] ． ∵ x∈[ 1 2 ，2] ，∴M= f( 1 2 )=- a 4 + 5 2 ，m= - a 4 - 9 4a + 5 2 ．…（8分） ∴ g(a)=M-m= 9 4a ，由g（a）在[1，2]单调递减 可得当a=2时，函数取最小值 g(a ) min =g(2)= 9 8 ．…（10分）