Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，（n∈N﹡），数列{bn}满足bn=2log3an+3，（n∈N*）．（

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，（n∈N﹡），数列{bn}满足bn=2log3an+3，（n∈N*）．（1）求an，bn；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．解得a₁=1
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an＝3n?1∴bn＝2log3an+3＝2n+1
（2）由（1）知：a_nb_n=（2n+1）3^n-1
∴Tn＝3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n?1
3T_n=3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ
∴2Tn＝?3?2×3?2×32?…?2×3n?1+(2n+1)×3n
=?3+

?6(1?3n?1)

1?3

+(2n+1)×3n
∴Tn＝n×3n