如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（-4，3），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（-4，3），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC...
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（-4，3），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
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（1）∵抛物线的顶点坐标为C（-4，
），
∴抛物线的对称轴为直线x=-4．
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴A（-1，0 ），B（-7，0 ），
设抛物线解析式为y=a（x+4）2+
，
代入点A坐标可得：0=a（-1+4）2+
，
解得：a=-
，
故二次函数的解析式为：y=-
（x+4）2+
．
（2）作点A关于y轴的对称点A'，可得 A'（1.0），
连接A'C交y轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小，
设直线CA'的解析式为y=kx+b（k≠0），
代入点A'、点C的坐标可得：
解得：
，
则直线CA'的解析式为y=-
x+
，
故点M的坐标为（ 0，
）．
（3）由（1）可知，C（-4，
），设对称轴交x轴于点D，
则AD=3．
在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=
=
，
∴∠CAD=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=30°．
∴∠ACB=120°，
①如果AB=AN1=6，过N1作E N1⊥x轴于E，
由△ABC∽△BA N1得∠BA N1=120°，
则∠EA N1=60°．
∴N1E=3
，AE=3．
∵A（-1，0 ），
∴OE=2．
∵点N在x轴下方，
∴点N1（2，?3
| 3 |
∴抛物线的对称轴为直线x=-4．
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴A（-1，0 ），B（-7，0 ），
设抛物线解析式为y=a（x+4）2+
| 3 |
代入点A坐标可得：0=a（-1+4）2+
| 3 |
解得：a=-
| ||
| 9 |
故二次函数的解析式为：y=-
| ||
| 9 |
| 3 |
（2）作点A关于y轴的对称点A'，可得 A'（1.0），
连接A'C交y轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小，
设直线CA'的解析式为y=kx+b（k≠0），
代入点A'、点C的坐标可得：
|
解得：
|
则直线CA'的解析式为y=-
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
故点M的坐标为（ 0，
| ||
| 5 |
（3）由（1）可知，C（-4，
| 3 |
则AD=3．在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=
| CD |
| AD |
| ||
| 3 |
∴∠CAD=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=30°．
∴∠ACB=120°，
①如果AB=AN1=6，过N1作E N1⊥x轴于E，
由△ABC∽△BA N1得∠BA N1=120°，
则∠EA N1=60°．
∴N1E=3
| 3 |
∵A（-1，0 ），
∴OE=2．
∵点N在x轴下方，
∴点N1（2，?3
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