Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．（1）求a、b、c的值；（2）

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．（1）求a、b、c的值；（2）求函数f（x）在P（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b．
∵当x=-1时，函数取得极大值，x=3时，函数取得极小值．
∴-1，3是方程f'（x）=0的根，即-1，3为方程3x²+2ax+b=0的两根．
∴

?1+3＝? 2a 3 ?1×3＝ b 3

，
∴

a＝?3 b＝?9

，
∴f（x）=x³-3x²-9x+c．
∵当x=-1时取得极大值7，
∴（-1）³-3（-1）²-9（-1）+c=7，
∴c=2．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²-9x+2．
∴f（1）=1-3-9+2=-9．
f′（x）=3x²-6x-9，
∴f′（1）=3-6-9=-12，
∴函数f（x）在P（1，f（1））处的切线方程为：
y+9=-12（x-1），即12x+y-3=0．