Question

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BC

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：如图1，

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

AB＝BC∠ABE＝∠BCFBE＝CF    

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF．

（2）解：如图2，根据题意得，

FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

令PF=k（k＞0），则PB=2k

在Rt△BPQ中，设QB=x，

∴x2=（x-k）2+4k／2，

∴x=5k／2 ，

∴sin∠BQP=BP／QB =2k ／5k2    =4   ／5   

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，

∴边长为2，

∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，

∴AN=AB=2，

∵∠AHM=90°，

∴GN∥HM，
∴S△AGN  =S△AHM   =(AN  ×  AM )／2，

∴S△AGN    1    =(2    5    )2，

∴S△AGN=4   ／5    ，

∴S四边形GHMN=S△AHM-S△AGN=1-4 ／5    =1 ／   5    ，

∴四边形GHMN的面积是1   ／5

Answer 2

解答：（1）证明：如图1，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，

AB＝BC ∠ABE＝∠BCF BE＝CF

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如图2，根据题意得，
FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=

5k

2

，
∴sin∠BQP=

BP

QB

=

2k

5k 2

=

4

5

．

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴

S△AGN

S△AHM

=(

AN

AM

)2，
∴

S△AGN

1

=(

2

5

)2，
∴S_△AGN=

4

5

，
∴S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-

4

5

=

1

5

，
∴四边形GHMN的面积是

1

5

．