Question

设f（x）=（x2-2x+2-a2）ex，（1）讨论该函数的单调性；（2）设g（a）为函数f（x）的极大值，证明：g（a

设f（x）=（x2-2x+2-a2）ex，（1）讨论该函数的单调性；（2）设g（a）为函数f（x）的极大值，证明：g（a）＜2．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=（x²-2x+2-a²）e^x，
∴f′（x）=（x-a）（x+a）e^x，
①a＞0，由f′（x）＞0，可得x＜-a或x＞a，由f′（x）＜0，可得-a＜x＜a；
②a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜a或x＞-a，由f′（x）＜0，可得a＜x＜-a；
③a=0，函数在R上递增，
综上，a＞0，函数的单调递增区间为（-∞，-a），（a，+∞）；单调递减区间为（-a，a）；a＜0，函数的单调递增区间为（-∞，a），（-a，+∞）；单调递减区间为（a，-a）；a=0，函数的单调递增区间为（-∞，+∞）；
（2）证明：由（1）知g（a）=

2(a+1)e?a，a＞0 2(?a+1)ea，a＜0

，
∵g（-a）=

2(?a+1)ea，a＜0 2(a+1)e?a，a＞0

=g（a），
∴g（a）是偶函数，
a＜0时，g（a）=2（-a+1）e^a，g′（a）=-2ae^a＞0，
∴g（a）在（-∞，0）上为增函数，∴g（a）＜2，
a＞0时，g（a）=g（-a）＜2，
综上，g（a）＜2．