Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，则∠BFC=______；（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，BC=4，AB=3．求BD的长；（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，判定∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△AEC≌△ABD，
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，
故答案为：120°；

（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．

（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵BD²=4AH²+BC²，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．