Question

在等比数列{an}中，an＞0（n∈N+），公比q∈（0，1），且a3a5+2a4a6+a3a9=100，又4是a4与a6的等比中项．

在等比数列{an}中，an＞0（n∈N+），公比q∈（0，1），且a3a5+2a4a6+a3a9=100，又4是a4与a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn．

Answer 1

（I）因为a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，即a42+2a4a6+a62＝100，
∴（a₄+a₆）²=100，
又∵a_n＞0，∴a₄+a₆=10，…（2分）
又∵4为a₄与a₆的等比中项，∴a₄?a₆=16，…（3分）
∴a₄，a₆是方程x²-10x+16=0的两个根，
而q∈（0，1），∴a₄＞a₆，∴a₄=8，a₆=2，…（4分）
∴

a1q3＝8 a1q5＝2

，解得a1＝64，q＝

1

2

，
∴an＝64?(

1

2

)n?1=2^7-n．…（6分）
（II）b_n=log₂a_n=7-n，
则{b_n}的前n项和T_n=

n(13?n)

2

，
∴当1≤n≤7时，b_n≥0，∴Sn＝

n(13?n)

2

，…（8分）
当n≥8时，b_n≤0，S_n=b₁+b₂+…+b₇-（b₈+b₉+…+b_n） …（10分）
=-（b₁+b₂+…+b_n）+2（b₁+b₂+…+b₇）
=-

n(13?n)

2

+2×

7×(6+0)

2

=

n2?13n+84

2

，
∴Sn＝

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