Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．（1）当t=______时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．求s与ι之间的函数关系式．

Answer 1

（1）在直角△ABC中，AC=

AB2?BC2

=4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：
（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，
解得：t=7．
答：当t=7时，点P与点Q相遇；
故答案为：7．

（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，
即3-t=2t，
解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=

1

2

PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=

3

5

AQ=

3

5

（2t-4），
∵PC=BC-BP=3-t，
∴

1

2

×

3

5

（2t-4）=3-t，
解得：t=

39

17

；
则当t=1或t=

39

17

时△PCQ为等腰三角形；

（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，
即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：

3

5

（14-2t），
故s=

1

2

（2t-9）×

3

5

（14-2t）=

3

5

（-t²+10t-2）=-

3

5

t²+6t-

6

5

．