Question

已知函数f( x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c属于R)的图像关于原点对称

已知函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c属于R）的图像关于原点对称，且当X=1时
f(x)取极小值-2/3.（1）求a,b,c的值，（2）当x属于[-1,1]时，图像上是否
存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？并证明你的结论。

Answer 1

关于原点对称，可以说明f（x）是奇函数了，所以偶数次项应为0
即b=0
所以函数为f（x）=ax^3+3cx
求导f’（x）=3ax^2+3c
令f’（x）=0，则驻点x=±√（-c/a）
因为其中一个x=1，所以a=-c
又x=1时，有极小值f（1）=a+3c=-2/3，联立后得a=1/3，c=-1/3
即a=1/3，b=0，c=-1/3
函数为f（x）=x^3/3-x

2）不存在
x=1求得极小值，同理也可求得x=-1取的极大值2/3，
在x∈【-1，1】上，函数f（x）是单调递减的。
在此个单调区间内是无法取得两点，也无法满足两点切线互相垂直的

Answer 2

（1）因为f(x)关于原点对称，所以f(-x)+f(x)=0,解得b=0;又因为f(x)在x=1处

取得极小值，所以f(x)的导数在x=1的值为0，即f'（1）=0,又因为当X=1时(x)取

极小值-2/3，所以f(1)=-2/3,联立方程组：3a-4b+3c=0,a-2b+3c=-2/3,解得

a=1/3,b=-1/3

(2)设a点和b点的横坐标分别为x1和x2，-1<=x1<x2<=1,k1和k2分别表示该函数图

像在点a点b处的斜率，（特殊情况）因为当x1=-1,x2=1时，k1=f'(x1)=f'(-1)

=0,k2=f'(x2)=f'(1)=0,所以k1*k2=0,此时两切线显然不垂直。此时x1,x2的范围

缩小为（-1，1），k1=f'(x1)=(x1)^2-1,k2=f'(x2)=(x2)^2-1,则k1*k2的范围是

（-1，2），所以k1*k2的值永远都不可能为-1，所以该两切线不会垂直。