Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足 f(- 3 2 +x)=f( 3 2 +x) ．当 x∈(0， 3

已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足 f(- 3 2 +x)=f( 3 2 +x) ．当 x∈(0， 3 2 ) 时，f（x）=ln（x 2 -x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9

Answer 1

∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足 f(- 3 2 +x)=f( 3 2 +x) ． ∴f（x+ 3 2 + 3 2 ）=f（- 3 2 +x+ 3 2 ），可得f（x+3）=f（x）， 函数f（x）的周期为3， ∵当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x 2 -x+1）， 令f（x）=0，则x 2 -x+1=1，解得x=1 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴在区间∈[-1.5，1.5]上， f（-1）=-f（1）=0，f（0）=0． ∴f（1.5）=f（-1.5+3）=f（-1.5）=-f（-1.5）， ∴f（-1）=f（1）=f（0）=f（1.5）=f（-1.5）=0 又∵函数f（x）是周期为3的周期函数， 则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6， 共9个， 故选D；