Question

如图，已知AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若A

如图，已知AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若AE⊥DE，DC=5，DE=8，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠1=∠2，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°，
又∵∠1=

1

2

∠ADC，在直角△ADE中，∠EAD+∠1=90°，
∴∠EAD=

1

2

∠BAD，
即AE是∠BAD的平分线．
同（1）可得BE=AB=CD=5，
作EF∥CD，则F是AD的中点，
又∵AD∥BC，EC=CD，
∴四边形EFDC是菱形．
∴DE⊥CF，DG=

1

2

DE=4，
在直角△CDG中，CG=

CD2?DG2

=

52?42

=3．
∴CF=2CG=6，
∴菱形EFDC的面积是：

1

2

DE?CF=

1

2

×8×6=24，
∴四边形ABCD的面积是2×24=48．