Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F=λFC（1）当

如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F=λFC（1）当λ=1时，求二面角F-DE-C的余弦值；（2）当λ为何值时，有BD1⊥EF？

Answer 1

（1）λ=1时，

C1F

=

FC

，
以C为原点，CB为x轴，DC为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，
∴E（1，0，0），F（0，0，2），D（0，-2，0），F（0，0，2），
∴

DF

=(0，2，2)，

EF

=(-1，0，2)，
设平面FDE的法向量为

n

，则

n

=(0，0，1)，
设平面FDE的法向量为

m

=（x，y，z），则

m

?

EF

=0，

m

?

DF

=0，
∴

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