Question

如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连

如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接OD、AD．（1）求证：AD=BO；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵OC绕点C按顺时针方向旋转60°，
∴△BOC≌△ADC，
∴AD=BO；

（2）△AOD是直角三角形．
理由：∵△BOC≌△ADC，
∴DC=OC．∠BOC=∠ADC=150°
∵∠DCO=60°，
∴△OCD是等边三角形．
∴∠ODC=60°
∴∠ADC=90°，
∴△AOD是直角三角形．

（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
当∠DAO=∠DOA时，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
当∠AOD=ADO时，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
当∠OAD=∠ODA时，
190°-a+2（a-60°）=180°，
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．